| [간략정보]
수학공부를 할 때 문제만 많이 풀면 된다는 생각을 하는 사람이 있습니다. 물론 문제를 많이 푸는 것도 중요하지만 그보다 먼저 해야할 일이 있습니다. 그것은 수학에서 쓰이는 용어의 뜻을 정확히 아는 것입니다. 너무나 당연한 이야기지요? 하지만 많은 학생들이 이 사실을 소홀히 하고 있습니다. 수학문제가 풀리지 않을 때는 문제에 나오는 용어들중에 정확히 모르는 말이 있다고 보면 됩니다. 그 용어의 뜻을 제대로 아는 순간 그 문제도 풀리는 경우가 대부분입니다. 수학문제의 답은 문제속에 있습니다. 문제속에는 답을 찾을 수 있는 힌트가 들어 있습니다. 수학문제를 푼다는 것은 숨어 있는 힌트를 가지고 정답을 찾는 일종의 탐정놀이라고 보면 됩니다. 대부분의 추리소설에서 범인은 항상 등장인물중에 있습니다. 그래서 범인이 누구일까 궁금할 때는 등장인물중 의심이 가는사람에 대해 처음부터 다시 살펴보게 됩니다. 수학문제도 마찬가지입니다. 안풀릴 때일수록 처음부터 꼼꼼히 따져보는 겁니다. 그럼 이게 전부일까요? 물론 아닙니다. 정말 수학을 잘하고 싶다면 다음과 같이 해보세요.
1. 용어와 기호의 뜻(이것을 정의라고 합니다.)을 정확히 이해합니다.
2. 용어와 기호가 실제로 쓰이는 예를 기억합니다.
3. 해답을 보지 않고 손으로(눈으로 말고) 직접 문제를 풀어봅니다.
4. 어려운 문제 한두개 보다는 쉬운 문제를 많이 풉니다.
5. 수학문제가 수식으로 되어있으면 문장이나 그림(그래프)으로 바꿔 보고, 문장으로 되어있으면 수식이나 그림(그래프)으로 바꿔봅니다.
6. 수학문제에는 필요없는 말은 없습니다. 문제에 주어진 조건을 다 이용했는지 점검해봅니다.
7. 계산은 빨리 하는 것보다 정확히 하는 것이 중요합니다. 계산과정을 다 쓰도록 합니다.
8. 기존에 내가 알고 있던 문제중에서 지금 풀려고 하는 문제와 가장 비슷한 문제를 이용합니다.
9. 문제푸는 방법은 여러 가지가 있습니다. 다른 사람은 어떻게 문제를 푸는지 살펴보고, 여러 방법중 가장 단순한 방법을 기억합니다.
10. 답이 나오면 그 답이 문제의 조건에 맞는지 검토하는 과정을 거칩니다.
[이호준 선생님]
[상세정보]
수학공부가 어렵다면 다음 10가지 항목을 점검해 보세요.
1.용어와 기호의 뜻(이것을 정의라고 합니다)을 정확히 이해합니다. 수학은 정확히 정의된 용어들 사이의 관계를 밝히는 학문이라고할 수 있습니다. 따라서 용어의 정의를 아는 것이 모든 수학문제 해결의 첫걸음입니다. 그렇다면 내가 어떤 용어의 뜻을 제대로 알고 있는지 아닌지를 어떻게 알 수 있을까요? 가장 손쉬운 방법은 다른 사람에게 그 용어를 설명해서 이해시킬 수 있는지를 보는 것입니다. 책에 나오는 정의를 글자 그대로 외우는 것은 진정한 이해라고 할 수 없습니다. 내가 알고 있는 말로 바꿔서 설명할 수 있으면 되는 겁니다. 새로운 용어가 나오면 무조건 외우려고만 하지말고 이 말을 동생이나 친구에게 쉽게 설명하려면 어떻게 하면 될까를 생각해보세요.
2. 용어와 기호가 실제로 쓰이는 예를 기억합니다. 수학 용어와 기호의 정의를 이해한 다음에는 그것들이 실제로 어떻게 쓰이는지를 아는 것이 중요합니다. 그래서 어떤 용어를 들으면 바로 예가 떠오를 수 있도록 하는 겁니다. 예를 들어, 자연수, 정수, 유리수 등의 용어가 나오면 각각의 예에 해당하는 1, -2, 0.34와 같은 숫자들을 기억하는 것입니다. 새로운 용어가 나올 때마다 '이것의 예는 무엇일까?'라는 의문을 가지고 예를 찾아보도록 하세요.
3. 해답을 보지 않고 손으로(눈으로 말고) 직접 문제를 풀어봅니다. 수학공부를 하면서 참고서나 문제지의 해답집에 있는 풀이를 '봐가면서' 공부하는 학생이 있습니다. 특히 시험 전날처럼 시간이 없을 때 이런 학생이 많습니다. 또 학교나 학원에서 선생님이 칠판에 풀어주시는 것을 노트에 옮겨 적거나 구경하는 것만으로 수학공부를 다 했다고 생각하는 학생이 있습니다. 이런 학생은 야구중계방송을 열심히 보면 진짜 야구를 잘 할 수 있다고 믿는 사람과 다르지 않습니다. 야구를 잘 하려면 직접 공을 던져봐야 하듯이 수학을 잘 하려면 자신이 직접 문제를 풀어봐야 합니다. 남이 풀어놓은 것을 '감상'하는 것은 공부가 아닙니다.
4. 어려운 문제 한두개보다는 쉬운 문제를 많이 풉니다. 수학을 잘하는 친구가 어떤 문제집을 보고 있으면 웬지 나도 그 문제집을 사고 싶어질 때가 있습니다. '저 문제집만 풀어보면 나도 수학을 잘 할 수 있을지 몰라.' 아마 이런 생각을 하면서 말입니다. 그러나 부푼 꿈을 안고 그 문제집을 샀다가 좌절감만 맛보고 그만 두는 경우가 허다합니다. 그 문제집은 그 친구에게는 좋은 책일지 몰라도 나한테는 맞지 않는 책인 것입니다. 어려운 문제를 풀어야 수학을 잘하게 되는 것이 아니라 수학을 잘하기 때문에 어려운 문제를 풀 수 있는 것입니다. 따라서 남이 얼마나 어려운 문제집을 푸는가 하는 것은 중요한 것이 아닙니다. 내 수준에 맞는 다양한 문제를 많이 풀어보는 것이 실력향상의 지름길이라는 사실을 명심합시다.
5. 수학문제가 수식으로 되어있으면 문장이나 그림(그래프)으로 바꿔보고, 문장으로 되어있으면 수식이나 그림(그래프)으로 바꿔봅니다. 『직각 좌표상의 한점(1,1)에서 거리가 2인 점들의 집합중 y좌표가 0인 점들 사이의 거리를 구하시오』라는 문제가 있다고 합시다. 이 문제는 현재 문장형태로 되어 있고, 이대로만 놓고서는 상당히 복잡한 문제점처럼 보일수도 있습니다. 그림을 그려놓고 보면 위 문제는 결국 반지름이 2인 원과 x좌표가 만나는 두점 사이의 거리를 구하라는 문제가 됩니다. 그럼 이번에는 이 그림을 식으로 바뀌 봅시다. 중심이 (1,1)이고 반지름이 2인 원을 방정식으로 나타내면 (x-1)²+(y-1)²=2²입니다. 이것을 정리하면 x²-2x+1+y²-2y+1=4 x²-2x+y²-2y-2=0이 됩니다. x축과 만나는 점을 구하기 위해서 y=0을 대입하면 x²-2x-2=0 결국 이 문제는 x²-2x-2=0이라는 방정식의 두근의 차를 구하는것과 같은 문제가 되는 것입니다. 이처럼 주어진 문제의 형태를 여러 가지로 바꿔보면 얼마든지 내가 해결할 수 있는 문제의 형태로 바꿀 수 있을 겁니다.
6. 수학문제에는 필요없는 말은 없습니다. 문제에 주어진 조건을다 이용했는지 점검해봅니다. 예를 들어 이런 문제가 있다고 합시다. '지구상의 어떤 지점에 사는 동물이 있습니다. 이 동물이 자신이 서 있던 위치에서 남쪽으로 100m, 동쪽으로 100m 이동한 후 다시 북쪽으로 100m 이동했더니 다시 맨처음 출발점으로 돌아왔다면, 이 동물의 색깔은 무엇일까요?' 이게 무슨 수학문제냐구요? 얼른 보면 넌센스퀴즈처럼 보일 것입니다. 그러나 이것은 엄연히 정답이 있는 문제입니다. 평면상에서는 위와 같은 일어날 수 없습니다. 그러나 지구라고 하는 입체에서는 가능한 일입니다. 지구본을 가져다 놓고 보세요. 위와 같은 일이 일어나는 곳이 있을 겁니다. 바로 극지방입니다. 따라서 문제에서 말하는 동물은 북극곰일테고 정답은 흰색입니다. '지구'라는 조건을 염두에 두지 않으면 풀 수 없는 문제입니다.
7. 계산은 빨리 하는 것보다 정확히 하는 것이 중요합니다. 계산과정을 다 쓰도록 합니다. 시험이 끝난 후 의외의 곳에서 실수를 해서 시험을 망쳤다고 하는 학생들이 있습니다. 이런 학생들은 대부분 문제를 푸는 과정에서 계산을 틀리게 했을 가능성이 높습니다. 중고등학교 수학에서 숫자계산을 얼마나 잘 하는가를 물어보기 위한 문제는 없습니다. 하지만 모든 문제에서 계산과정은 빠지지않고 거쳐야할 과정입니다.
수학에서 필요한 것은 계산을 '얼마나 잘 하느냐'가 아니라 '얼마나 정확하게 하느냐'입니다. 시험을 볼 때 시간에 쫓기다보면 급한 마음에 쉬운 계산은 눈으로 얼른 해치우는 경우가 있습니다. 그러나 이렇게 암산으로 한다고 해서 절약되는 시간은 사실 얼마 되지 않습니다. 답답하더라도 모든 계산과정을 다 쓰는 습관을 들이도록 하세요.
8. 기존에 내가 알고 있던 문제중에서 지금 풀려고 하는 문제와 가장 비슷한 문제를 풀었던 경험을 이용합니다. 수학 실력이 갑작스런 비약을 하기 어렵듯이 수학문제도 다른 문제와 동떨어진 문제가 생겨날 수 없는 것입니다. 대부분 전에 있던 문제를 참고로 조금씩 조건을 추가하고, 숫자를 바꾸고, 묻는 방법을 달리 한 것들입니다. 따라서 지금 내가 앞에 대하고 있는 문제가 어렵게 느껴진다면, 전에 이와 비슷한 문제를 풀었던 경험을 되살려봅시다. '그 문제와 지금 이 문제는 무엇이 같고 무엇이 다른가?''그 때는 어떤 방법으로 풀었는데 지금도 그 방법을 쓸 수 있는가?' '안 된다면 왜 안되는가?' '다른 방법은 무엇이 있을까?' 이렇게 차근차근 따져보면 해결의 실마리를 찾을 수 있을 겁니다.
9. 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있습니다. 다른 사람은 어떻게 문제를 푸는지 살펴보고, 여러 방법중 가장 단순한 방법을 기억합니다. 문제를 푸는 방법이 한가지만 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 이차방정식 x²-5x+6=0을 푸는 경우를 봅시다. 이것을 인수분해를 이용해서 풀 수도 있고 근의 공식에 바로 대입해서 풀 수도 있습니다. 어떤 방법으로 하든지 답은 같습니다. 이렇게 풀이 방법이 여러 가지일 경우는 되도록 풀이 과정이 단순하고 자기에게 익숙한 것을 택하는 것이 좋습니다. 기억하기도 쉬울 뿐 아니라 풀이 과정에서의 실수를 줄일 수 있기 때문입니다.
10. 답이 나오면 그 답이 문제의 조건에 맞는지 검토하는 과정을 거칩니다. 예를 들어 x³-1=0이라는 방정식을 풀어보면 실수1과 복소수가 나옵니다. 그런데 이 세 개가 다 근이냐 아니냐는 이 방정식이 실수범위에서 푸는 것인지, 복소수 범위에서 푸는 것인지를 따져본 뒤에 알 수 있는 것입니다. 만약 실수 범위에서만 푸는 문제라면 근은 1 하나 뿐이겠지요. 이처럼 모든 문제를 풀때는 답이 나왔다고 생각하는 순간에 너무 기뻐하지 말고 냉정한 마음으로 다시 한번 문제의 조건을 검토하도록 합시다.
[이호준 선생님] |
